Torre de Hanói para professores

Um jogo que leva os alunos a descobrir sozinhos uma sequência, uma regra recursiva e uma fórmula. Grátis, sem anúncios e sem cadastro.

Plano de aula · Tabela para imprimir

Habilidades da BNCC

• EF08MA10 (8º ano do Ensino Fundamental): identificar a regularidade de uma sequência numérica não recursiva e construir um algoritmo que indique os termos seguintes. Aqui, o número mínimo de movimentos para cada quantidade de discos.
• EF08MA11 (8º ano): o mesmo para sequências recursivas. A regra de que cada torre custa o dobro da anterior mais um movimento é exatamente uma sequência recursiva.
• EM13MAT508 (Ensino Médio): associar progressões geométricas a funções exponenciais de domínio discreto. A sequência 1, 3, 7, 15, 31 … vira uma PG ao somar 1 a cada termo (2, 4, 8, 16, 32 …), e a fórmula 2ⁿ − 1 é uma função exponencial.

Uma aula de 50 minutos

Para o 8º ano do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, em duplas ou trios, com um computador, tablet ou celular por grupo.

1. 5 min: a lenda. Conte a história: no templo de Benares, na Índia, monges movem 64 discos de ouro de um pino a outro, um por vez e nunca um disco maior sobre um menor; quando terminarem, o mundo acaba. Pergunte: dá para ter medo?
2. 15 min: jogar e registrar. Cada grupo joga com 3 discos e depois com 4 discos, anotando o menor número de movimentos que consegue na tabela abaixo. O tabuleiro mostra o mínimo possível, então os alunos sabem quando acertaram.
3. 15 min: achar o padrão. Com a tabela preenchida (1, 3, 7, 15…), os alunos descrevem como cada linha nasce da anterior: dobra e soma 1. Isso é a regra recursiva T(n) = 2 · T(n − 1) + 1. Depois, a pergunta para a fórmula: que número é um a menos que uma potência de 2? O resultado é 2ⁿ − 1.
4. 10 min: conferir. A turma prevê o mínimo para 5 e para 6 discos (31 e 63) e verifica jogando 5 discos e 6 discos. Quem travar pode usar o solucionador, que continua a partir de qualquer posição.
5. 5 min: fechamento. Quanto tempo levariam os 64 discos a um movimento por segundo? Cerca de 585 bilhões de anos. A página da fórmula mostra a conta e a demonstração por indução, para quem quiser continuar em casa.

Tabela de registro

Uma folha por grupo, pronta para imprimir. A última coluna é para os alunos escreverem o que perceberam.

Imprimir a tabela

Bom saber

• O jogo não tem anúncios e não pede cadastro nem nome dos alunos. Os recordes ficam só no navegador de cada um.
• No laboratório de informática, funciona em qualquer navegador atual; no celular, os alunos tocam nos pinos.
• O brinquedo de madeira comum tem de 7 a 9 discos, e o original vendido por Lucas tinha 8. Se tiver um na escola, leve para a sala.